Integration i flere variable

Denne note handler om parameterfremstillinger for kurver, flader og rumlige områder og om integration af funktioner på sådanne geometriske objekter. Formålet er primært at opstille og motivere de generelle definitioner og beregninger af henholdsvis kurve- \, flade- \, og rum-integraler. Udgangspunktet er Taylor's grænseformel (til $1.$ orden) for de koordinatfunktioner, der be\-nyt\-tes til parameterfremstillingerne for kurverne, fladerne og de rumlige områder. Parameterfremstillingerne betragtes under \'{e}t som vektorfunktioner dvs. vektorafbildninger fra de simplest mulige parameterområder (simple delmængder af enten $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^{2}$, eller $\mathbb{R}^{3}$) ind i rummet, dvs. ind i $\mathbb{R}^{3}$. For fladerne benyttes således altid et rektangulært parameterområde i $\mathbb{R}^{2}$; og for de rumlige områder benyttes altid et retvinklet kasseformet parameterområde i $\mathbb{R}^{3}$. De punktvis lineariserede vektorfunktioner benyttes til konstruktion af de såkaldte Jacobi-funktioner. Jacobifunktionen for en given parameterfremstilling måler hvor meget parameterområdet lokalt deformeres når det udsættes for den tilhørende afbildning. Det er Jacobi-funktionerne, der således giver direkte anledning til approksimerende sumformler for den totale længde, det totale areal og det totale volumen af henholdsvis kurver, flader og rumlige områder. Og det er disse summer, der på naturlig måde motiverer og illustrerer de generelle beregningsudtryk for kurve-\, flade-\, og rum-integralerne. Undervejs introduceres \texttt{Integrator8}. Det er en pakke med Maple procedurer, som er udviklet specielt med henblik på eksempelbaseret visuel læring af de indledende integrationsbegreber og deres mangfoldige anvendelser. Vi giver eksempler på, hvordan integration i flere variable anvendes til beregning og forståelse af rumfang, vægt, massemidtpunkter, inertimomenter, kraftmomenter, etc. Flowkurverne for et givet vektorfelt i rummet kan findes og visualiseres med \texttt{Integrator8}. De vigtige begreber divergens og rotation for et vektorfelt fremtræder derved som naturlige størrelser til beskrivelsen af den bevægelse i rummet, der har et givet vektorfelt som hastighedsfelt. Til sidst i noten benyttes de gennemgåede metoder og resultater til at præsentere to klassiske perler indenfor flervariabel global analyse: Gauss' sætning og Stokes' sætning for vektorfelter i rummet.