TY - BOOK
T1 - Integration i flere variable
AU - Markvorsen, Steen
PY - 2010
Y1 - 2010
N2 - Denne note handler om parameterfremstillinger for
kurver, flader og rumlige områder og om
integration af funktioner på sådanne geometriske
objekter. Formålet er primært at opstille og
motivere de generelle definitioner og beregninger
af henholdsvis kurve- \, flade- \, og
rum-integraler.
Udgangspunktet er Taylor's grænseformel (til $1.$
orden) for de koordinatfunktioner, der
be\-nyt\-tes til parameterfremstillingerne for
kurverne, fladerne og de rumlige områder.
Parameterfremstillingerne betragtes under \'{e}t
som vektorfunktioner dvs. vektorafbildninger fra
de simplest mulige parameterområder (simple
delmængder af enten $\mathbb{R}$,
$\mathbb{R}^{2}$, eller $\mathbb{R}^{3}$) ind i
rummet, dvs. ind i $\mathbb{R}^{3}$. For fladerne
benyttes således altid et rektangulært
parameterområde i $\mathbb{R}^{2}$; og for de
rumlige områder benyttes altid et retvinklet
kasseformet parameterområde i $\mathbb{R}^{3}$.
De punktvis lineariserede vektorfunktioner
benyttes til konstruktion af de såkaldte
Jacobi-funktioner. Jacobifunktionen for en given
parameterfremstilling måler hvor meget
parameterområdet lokalt deformeres når det
udsættes for den tilhørende afbildning.
Det er Jacobi-funktionerne, der således giver
direkte anledning til approksimerende sumformler
for den totale længde, det totale areal og det
totale volumen af henholdsvis kurver, flader og
rumlige områder. Og det er disse summer, der på
naturlig måde motiverer og illustrerer de
generelle beregningsudtryk for kurve-\, flade-\,
og rum-integralerne.
Undervejs introduceres \texttt{Integrator8}. Det
er en pakke med Maple procedurer, som er udviklet
specielt med henblik på eksempelbaseret visuel
læring af de indledende integrationsbegreber og
deres mangfoldige anvendelser.
Vi giver eksempler på, hvordan integration i
flere variable anvendes til beregning og
forståelse af rumfang, vægt, massemidtpunkter, inertimomenter,
kraftmomenter, etc.
Flowkurverne for et givet vektorfelt i rummet kan
findes og visualiseres med \texttt{Integrator8}.
De vigtige begreber divergens og rotation for et
vektorfelt fremtræder derved som naturlige
størrelser til beskrivelsen af den bevægelse i
rummet, der har et givet vektorfelt som
hastighedsfelt.
Til sidst i noten benyttes de gennemgåede metoder og resultater til
at præsentere to klassiske perler indenfor flervariabel global
analyse: Gauss' sætning og Stokes' sætning
for vektorfelter i rummet.
AB - Denne note handler om parameterfremstillinger for
kurver, flader og rumlige områder og om
integration af funktioner på sådanne geometriske
objekter. Formålet er primært at opstille og
motivere de generelle definitioner og beregninger
af henholdsvis kurve- \, flade- \, og
rum-integraler.
Udgangspunktet er Taylor's grænseformel (til $1.$
orden) for de koordinatfunktioner, der
be\-nyt\-tes til parameterfremstillingerne for
kurverne, fladerne og de rumlige områder.
Parameterfremstillingerne betragtes under \'{e}t
som vektorfunktioner dvs. vektorafbildninger fra
de simplest mulige parameterområder (simple
delmængder af enten $\mathbb{R}$,
$\mathbb{R}^{2}$, eller $\mathbb{R}^{3}$) ind i
rummet, dvs. ind i $\mathbb{R}^{3}$. For fladerne
benyttes således altid et rektangulært
parameterområde i $\mathbb{R}^{2}$; og for de
rumlige områder benyttes altid et retvinklet
kasseformet parameterområde i $\mathbb{R}^{3}$.
De punktvis lineariserede vektorfunktioner
benyttes til konstruktion af de såkaldte
Jacobi-funktioner. Jacobifunktionen for en given
parameterfremstilling måler hvor meget
parameterområdet lokalt deformeres når det
udsættes for den tilhørende afbildning.
Det er Jacobi-funktionerne, der således giver
direkte anledning til approksimerende sumformler
for den totale længde, det totale areal og det
totale volumen af henholdsvis kurver, flader og
rumlige områder. Og det er disse summer, der på
naturlig måde motiverer og illustrerer de
generelle beregningsudtryk for kurve-\, flade-\,
og rum-integralerne.
Undervejs introduceres \texttt{Integrator8}. Det
er en pakke med Maple procedurer, som er udviklet
specielt med henblik på eksempelbaseret visuel
læring af de indledende integrationsbegreber og
deres mangfoldige anvendelser.
Vi giver eksempler på, hvordan integration i
flere variable anvendes til beregning og
forståelse af rumfang, vægt, massemidtpunkter, inertimomenter,
kraftmomenter, etc.
Flowkurverne for et givet vektorfelt i rummet kan
findes og visualiseres med \texttt{Integrator8}.
De vigtige begreber divergens og rotation for et
vektorfelt fremtræder derved som naturlige
størrelser til beskrivelsen af den bevægelse i
rummet, der har et givet vektorfelt som
hastighedsfelt.
Til sidst i noten benyttes de gennemgåede metoder og resultater til
at præsentere to klassiske perler indenfor flervariabel global
analyse: Gauss' sætning og Stokes' sætning
for vektorfelter i rummet.
KW - Gauss' og Stokes' sætninger
KW - Integration i flere variable
KW - Flervariabel analyse
M3 - Kompendium/lecture notes
BT - Integration i flere variable
T2 - 01005 Matematik 1: Advanced Engineering Mathematics 1
Y2 - 1 January 2010
ER -