Geometry and Lorentzian harmonic maps

DFF funded research project. A Lorentzian harmonic map, or "wave map", is a solution of the nonlinear wave equation, the generalization of the standard wave equation to the curved space
setting. In this project, we study (1+1)-dimensional wave maps into the 2-sphere
and the hyperbolic 2-space and their relationship with special problems in
geometry, focusing on constant Gaussian curvature surfaces in Euclidean space,
and timelike constant mean curvature surfaces in the anti-de-Sitter 3-space. These
types of surfaces have wave maps as their unit normals, and are important in
geometry and in physics. They have the property that there are very few complete,
regular solutions: any construction method leads invariably to singularities. We will
develop a global theory of such surfaces, by defining them in a natural way through
globally defined wave maps. The project aims to address several critical issues in
the global theory of integrable systems in geometry.

Den klassiske bølgeligning beskriver udbredelsen af bølger med konstant hastighed
i et ikke-krummet rum. Hvis vi generaliserer til et rum med krumning får vi en
ikkelineær version af bølgeligningen. Løsningerne kaldes i de tilfælde wave maps.
Bevægelsen af en streng på overfladen af en kugle kan tilnærmes med en sådan
wave map. På den anden side er wave map konceptet også tæt forbundet med en
berømt type flade i geometri, nemlig flader med konstant negativ krumning. Disse
flader blev opdaget i det 19. århundrede i bestræbelsen på at finde realiseringer af
den hyperbolske plan i rummet. En berømt sætning af Hilbert viste, at alle disse
forsøg nødvendigvis resulterer i dannelsen af singulariteter. Det har som
konsekvens, at der ikke findes nogen global teori for konstant negativt krummede
flader i rummet, fordi den klassiske definition ikke giver mening, når fladerne
indeholder singulariteter. Dette projekt undersøger en naturlig generalisering af
konstant negativt krummede flader, som netop defineres via wave maps. De tillader
en global teori fordi singulariteterne nu indgår naturligt i selve definitionen. Wave
map tilgangen vil derfor også åbne op for den globale analyse af nogle af de vigtige
flader med singulariteter, som typisk opstår i fysiske modeller af universet, og
denne analyse udgør en essentiel del af dette projekt.